第28页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

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$证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F$

$∴∠DEA=∠DFA= 90°$

$∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD$

$∵AD=AD，∠DEA=∠DFA$

$∴△ADE≌△ADF(\mathrm {AAS})$

$∴DE=DF$

$又BD=CD$

$∴Rt△DBE≌Rt△DCF(\mathrm {HL})$

$∴∠B=∠C$

$证明：在AB上截取AF= AD，连接EF$

$∵AE平分∠PAB$

$∴∠DAE=FAE$

$在△DAE和△FAE中$

$\begin{cases}{ AD=AF }\\{∠DAE=∠FAE} \\ {AE=AE} \end{cases}$

$∴△DAE≌△FAE(\mathrm {SAS})$

$∴∠AFE=∠ADE$

$∵AD//BC$

$∴∠ADE+∠C= 180°$

$∵∠AFE+ ∠EFB= 180°$

$∴∠EFB= ∠C，$

$∵BE平分∠ABC$

$∴∠EBF=∠EBC$

$在△BEF 和△BEC中$

$\begin{cases}{∠EFB=∠C }\\{∠EBF=∠EBC} \\ {BE=BE} \end{cases}$

$∴△BEF≌△BEC(\mathrm {AAS})$

$∴BC= BF$

$又AD=AF$

$∴AD+ BC=AF+BF=AB$

$证明：在AC上截取AF=AE，连接OF$

$∵AD平分∠BAC$

$∴∠EAO=∠FAO$

$在△AEO与△AFO中$

$\begin{cases}{ AE=AF }\\{∠EAO=∠FAO} \\ {AO=AO} \end{cases}$

$∴△AEO≌△AFO(\mathrm {SAS})$

$∴∠AOE=∠AOF$

$∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB$

$∴∠ECA+∠DAC=\frac{1}{2}∠ACB+\frac{1}{2}∠BAC$

$=\frac{1}{2}(∠ACB+∠ABC)$

$=\frac{1}{2}×(180°-∠ B)= 60°$

$则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC= 120°$

$∴∠AOC=∠DOE= 120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°$

$则∠COF= 60°$

$∴∠COD=∠COF$

$在△FOC与△DOC中$

$\begin{cases}{ ∠COF=∠COD }\\{CO=CO} \\ {∠FCO=∠DCO} \end{cases}$

$∴△FOC≌△DOC(\mathrm {ASA})$

$∴DC=FC$

$∵AC=AF+FC$

$∴AC=AE+CD$

$解：相等$

$证明：过点P 作PM⊥OB于点M，$

$PN⊥OA于点N$

$∵OC平分∠AOB$

$∴∠POM=∠PON$

$∵PM⊥OB，PN⊥OA$

$∴∠PMO=∠PNO=90°$

$在△POM和△PON中$

$\begin{cases}{ ∠POM=∠PON } \\{∠PMO=∠PNO}\\{OP=OP} \end{cases}$

$∴△POM≌△PON(\mathrm {AAS})$

$∴PM= PN$

$∵∠PMO=∠ PNO=∠MON=90°$

$∴∠MPN=360°-3×90°= 90°$

$∵∠MPN=∠EPF=90°$

$∴∠MPF=∠ NPE$

$在△PMF 和△PNE中$

$\begin{cases}{∠FPM=∠EPN }\\{PM=PN} \\{∠PME=∠PNE} \end{cases}$

$∴△PMF≌△PNE(\mathrm {ASA})$

$∴PF= PE$