第55页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

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$解：(1)∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC$

$∴∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°$

$又∠B=60°$

$∴∠B=∠BQP=∠BPQ$

$∴△BPQ 是等边三角形$

$∴BP=BQ\ $

$由题意可知，AP=t，则BP=9-t$

$∴9-t=6，解得t=3，故t 的值为3$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$证明：(1)∵AC= BC，∴∠A=∠ABC$

$∵△ABC绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到△A_{1}B_{1}C$

$∴∠A_{1}=∠A，A_{1}C=AC= BC，∠ACA_{1}=∠BCB_{1}=α$

$∴∠A_{1}=∠CBD$

$在△CBD与△CA_{1}F 中，\begin{cases}{∠CBD=∠CA_{1}F }\\{BC=A_{1}C} \\ {∠BCD=∠A_{1}CF} \end{cases}$

$∴△CBD≌△CA_{1}F(\mathrm {ASA})$

$(2)∵在△ABC中，AC= BC，∠ACB= 90°$

$∴∠CAB=∠CBA=45°$

$又由旋转的性质得到BC=B_{1}C$

$则∠CB_{1}B=∠CBB_{1}$

$∴∠CB_{1}B=∠CBB_{1}=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$

$∴∠B_{1}BD=∠CBB_{1} -∠CBA=90°-\frac{α}{2}-45°=45°-\frac{α}{2}$

$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$解：△PCD的形状可以是等腰三角形$

$∠PCA= 120°-α，∠CPD= 30°$

$①当PC= PD时，△PCD是等腰三角形$

$∠PCD=\frac{1}{2}(180°-∠MPN)$

$=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$

$即120°-α=75°$

$解得α=45°$

$②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形$

$∠PCD=∠CPD= 30°$

$即120°-α=30°$

$解得α=90°\ $

$③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形$

$∠PCD= 180°-2×30°= 120°$

$即120°-α=120°，解得α=0°$

$此时点P 与点B重合，点D与点A重合$

$综上所述，当α=45°或90°或0°时，$

$△PCD是等腰三角形$

$即α的大小是45°或90°或0°$

$解：(2)①当点Q 在边BC上时，△APQ 不可能$

$为等边三角形$

$②如图，当点Q 在边AC上时$

$若△APQ 为等边三角形，则AP=AQ$

$由题意可知，AP=t，BC+CQ=2t$

$∴AQ=BC+AC-(BC+CQ)$

$=9+9-2t=18-2t$

$∴18-2t=t$

$解得t=6$

$∴当t=6时，△APQ 为等边三角形$

$解：(3)在△CBB_{1}中，∵CB= CB_{1}$

$∴∠CBB_{1}= ∠CB_{1}B=\frac{1}{2}×(180°-α)$

$又∵△ABC是等腰直角三角形$

$∴∠ABC=45°$

$①若B_{1}B= B_{1}D，则∠B_{1}DB=∠B_{1}BD$

$∵∠B_{1}DB=45°+α$

$∠B_{1}BD=45°-\frac{α}{2}$

$∴45°+α=45°-\frac{α}{2}$

$∴α=0°(舍去)$

$②∵∠BB_{1}C= ∠B_{1}BC\gt ∠B_{1}BD$

$∴BD\gt B_{1}D，即BD≠B_{1}D$

$③若BB_{1}= BD$

$则∠BDB_{1}=∠BB_{1}D$

$即45°+α=\frac{1}{2}(180° - α)$

$∴α= 30°$

$∴由①②③可得，当α=30°时，$

$△BB_{1}D为等腰三角形$