第3页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

AC=BM

AC//BM

$证明：(4)延长ED到点G，使GD=ED，连接 CG，GF$

$∵D是BC边上的中点，∴CD=BD$

$在△CDG 和△BDE中$

$\begin{cases}{GD=ED}\\{∠CDG=∠BDE}\\{CD=BD}\end{cases}$

$∴△CDG≌△BDE(\mathrm {SAS})$

$∴CG=BE$

$∵CG+CF＞GF，∴BE+CF＞GF$

$∵DE⊥DF，GD=ED$

$∴DF 垂直平分EG，∴GF=EF$

$∴BE+CF＞EF$

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$解：(2)延长AD到点M，使DM=AD，连接BM$

$∵AD是△ABC的中线$

$∴BD=CD$

$在△ADC和△MDB中$

$\begin{cases}{CD=BD}\\{∠CDA=∠BDM}\\{AD=MD}\end{cases}$

$∴△ADC≌△MDB(\mathrm {SAS})$

$∴BM=AC=8$

$在△ABM中，AB-BM＜AM＜AB+BM$

$∴12-8＜AM＜12+8，$

$即4＜2AD＜20$

$∴2＜AD＜10，$

$即BC边上的中线AD的取值范围$

$为2＜AD＜10$

$解：(3)EF=2AD，EF⊥AD，理由如下：\ $

$延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM$

$由(2)可知，△BDM≌CDA(\mathrm {SAS})$

$∴BM=AC$

$∵AC=AF$

$∴BM=AF$

$由(1)可知，AC//BM$

$∴∠BAC+∠ABM=180°$

$∵AE⊥AB，AF⊥AC$

$∴∠BAE=∠FAC=90°$

$∴∠BAC+∠EAF=180°$

$∴∠ABM=∠EAF$

$在△ABM和△EAF 中$

$\begin{cases}{AB=EA}\\{∠ABM=∠EAF}\\{BM=AF}\end{cases}$

$∴△ABM≌△EAF(\mathrm {SAS})$

$∴AM=EF，∠BAM=∠E$

$∵AD=DM$

$∴AM=2AD$

$∴EF=2AD$

$∵∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE$

$∴∠APE=∠BAE=90°$

$∴EF⊥AD$