$解：(1)△AOB是以OA为斜边的直角三角形$
$理由如下：∵A(5，0)，∴OA=5$
$∴AB²+OB²=4²+3²=25=5²=OA²$
$∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形$
$(2)如图，过点B作BE⊥OA于点E$
$则\frac{1}{2}×OA×BE=\frac{1}{2}×OB×AB即\frac{1}{2}×5×BE=\frac{1}{2}×3×4$
$∴BE=\frac{12}{5}，∴AE=\frac{16}{5}$
$设PA=m，PB= m+1$
$由BE²+PE²=BP²得(\frac{12}{5})² +(\frac{16}{5}-m)²=(m+1)²$
$解得m=\frac{25}{14}$
$∴P(\frac{45}{14}，0)$
$(3)如图，过点O作以OB为腰，∠BOH= 90°的等腰直角三角形$
$∴HO= BO，∠HOC=∠OBD=90°$
$∵OC= DB，∴△HOC≌△OBD(\mathrm {SAS})$
$∴OD= HC$
$∴AC+OD= AC+ HC$
$要使AC+OD最小，则AC+CH最小$
$∴当A，C，H三点共线时，AC+CH最小$
$即AC+OD的最小值为AH的长$
$由(2)知，B(\frac{9}{5}，\frac{12}{5})$
$∴H(-\frac{12}{5}，\frac{9}{5})$
$∴AH=\sqrt{(-\frac{12}{5}-5)²+(\frac{9}{5})²}=\sqrt{58}，即AC+OD的最小值为\sqrt{58}$
