$解：过点P 作PG⊥OC于点G，则∠OGP=90°$
$∵∠AOC=90°，OP 平分∠AOC$
$∴∠POG=\frac{1}{2}∠AOC=45°$
$∴△OPG 是等腰直角三角形$
$∴OG=PG$
$由题意，得OP= \sqrt{2}t，OQ=2t$
$∴Q(2t，0)$
$∵OG²+PG²=OP²$
$∴OG=PG=t$
$∴P(t，t)$
$∵Q(2t，0)，B(6，2)$
$∴PB²=(6-t)²+(2-t)²=2t²-16t+40$
$QB²=(6-2t)²+2²=4t²-24t+40$
$PQ²=(2t-t)²+(0-t)²=2t²$
$分类讨论如下：$
$① 若∠PQB=90°，则有 PQ²+QB²=PB²$
$即2t²+4t²-24t+40=2t²-16t+40$
$整理，得t²-2t=0$
$解得t_{1}=2，t_{2}=0(不合题意，舍去)$
$②若∠PBQ=90°，则有 PB²+QB²=PQ²$
$即2t²-16t+40+4t²-24t+40=2t²$
$整理，得t²-10t+20=0$
$解得t_{1}=5+ \sqrt{5}，t_{2}=5-\sqrt{5}$
$③若∠QPB=90°，则有 PQ²+PB²=QB²$
$即2t²+2t²-16t+40=4t²-24t+40$
$整理，得8t=0$
$解得t=0(不合题意，舍去)$
$综上所述，当t=2或5+ \sqrt{5}或5- \sqrt{5}时，$
$△PQB为直角三角形$
