$解:(1)2∠A=∠1+∠2,理由如下:\ $ $在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°,\ $ $在△A'DE中，$ $∠A'+∠A'DE+∠A'ED=180°.\ $ $∵∠A =∠A,\ $ $∴∠B+∠C=∠A'DE+∠A'ED.\ $ $在四边形BCDE中，$ $∠B+∠C+∠1+∠2+ ∠A'DE+∠A'ED$ $=360°,\ $ $∴∠1+∠2+2(180°-∠A)=360°,\ $ $即2∠A=∠1+∠2.$
$解:(2)∠2=∠1+2∠A，理由如下:$ $如图(1)，设AB与A'D交于点F.\ $ $∵∠2=∠A+∠AFD,∠AFD=∠1+∠A',\ $ $∴∠2=∠A+∠1+∠A'\ $ $∵∠A'=∠A,$ $∴∠2=∠1+2∠A.$
$解:(2)当M在线段BF上(与点B、F 不重合)时，\ $ $△DMN仍是等边三角形,证明如下:\ $ $如图(2)，连接DF.$ $∵△ABC是等边三角形，\ $ $∴∠ABC=60°,AB=AC=BC.\ $ $∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，\ $ $∴BD=\frac{1}{2}AB,BF=\frac{1}{2}BC.\ $ $∴BD=BF.\ $ $又∠ABC=60°，$ $∴△BDF为等边三角形$ $\ 同理可得△EFC为等边三角形\ $ $∴BD=DF，∠DFB=∠EFC=60°.\ $ $∴∠DFE=60°=∠ABC.\ $ $又BF=DF=FE=FC,FM=EN,\ $ $∴BM=FN.$ $∴△BDM≌△FDN.\ $ $∴∠BDM=∠FDN,MD=ND.\ $ $∴∠BDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF$ $=∠MDN=60°.$ $∴△DMN是等边三角形.$
$解:(3)如图(3)或图(4)，当点M在射线FC上$ $(与点F 不重合)时，(1)中的结论不成立，$ $即△DMN不是等 边三角形$
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