解：$(1)$∵$∠BOC=40°$
∴$∠AOC=180°-∠BOC=140°$
∵$OD$平分$∠AOC$
∴$∠AOD=\frac {1}{2}∠AOC=70°$
$(2)$如图$①$，当射线$OE$在$AB $上方时，$∠BOE= \frac {2}{3}∠COE$
∵$∠BOE+∠COE=∠BOC$
∴$\frac {2}{3}∠COE+∠COE=40°$，∴$∠COE=24°$
如图②，当射线$OE$在$AB$下方时，$∠BOE=\frac {2}{3}∠COE$
∵$∠COE-∠BOE=∠BOC$
∴$∠COE-\frac {2}{3}∠COE=40°$，∴$∠COE=120°$
综上所述，$∠COE$的度数为$24°$或$120°$
$(3)$∵$∠DOF=3∠BOH$
∴设$∠BOH=x$，则$∠DOF=3x$
如图③，当射线$OE$在$AB$上方，$OF $在$AB$上方时，
作$∠FOH=90°$，使射线$OH$在$∠BOE$的内部
则$∠FOC=∠COD-∠DOF=70°-3x$
∴$∠EOH=∠BOC-∠COE-∠BOH=40°-24°-x=16°-x$
∴$∠FOH=∠FOC+∠COE+∠EOH$
$=70°-3x+24°+16°-x=90°$，解得$x=5°$
∴$∠AOH=180°-∠BOH=180°-5°=175°$
如图④，当射线$OE$在$AB$上方，$OF $在$AB$下方时
∵$∠AOF=∠DOF-∠AOD=3x-70°$，
$∠BOF=∠FOH-∠BOH=90°-x$，$∠AOF+∠BOF=180°$
∴$3x-70°+90°-x=180°$，解得$x=80°$
∵$∠COB=40°$，$80°>40°$
∴$x=80°$不符合题意，舍去
如图⑤，当射线$OE$在$AB$下方，$OF $在$AB$上方时
∵$∠AOF=∠DOF+∠AOD=3x+70°$
$∠BOF=∠FOH-∠BOH=90°-x$，$∠AOF+∠BOF=180°$
∴$3x+70°+90°-x=180°$，解得$x=10°$
∴$∠AOH=180°-∠BOH=180°-x=170°$
如图⑥，当射线$OE$在$AB$下方，$OF $在$AB$下方时
∵$∠AOF=∠DOF-∠AOD=3x-70°$
$∠BOF=∠FOH+∠BOH=90°+x$，$∠AOF+∠BOF=180°$
∴$3x-70°+90°+x=180°$，解得$x=40°$
∴$∠AOH=180°-∠BOH=180°-40°=140°$
综上所述，$∠AOH$的度数为$175°$或$170°$或$140°$
