$解：(2)①如图①，连接PH，过点P作PE⊥BC于点E，$
$∵⊙P与线段BD相切于点B，∴∠PBD=90°，$
$∴∠CBP=60°，∵PB=\sqrt{3}，$
$∴BE=\frac {\sqrt{3}}{2}，∵PB=PH，$
$∴∠BPH=60°，BH=\sqrt{3}，$
$∴S_{扇形PBH}=\frac {60π(\sqrt{3})^2}{360}=\frac {1}{2}π，$
$S_{△PBH}=\frac {3\sqrt{3}}{4}，$
$∴⊙P与矩形ABCD重叠部分的面积为\frac {1}{2}π-\frac {3\sqrt{3}}{4}.$
$②如图②，当AP⊥BD时，AP有最小值，∵AD=8\sqrt{3}，∠ADB=30°，$
$∴AM=4\sqrt{3}，∴AP的最小值为5\sqrt{3}$
