解：$(1) $设$ y=k(x-3)$，
把$ x=4$，$y=3 $代入得$ k=3$，
∴$y $与$ x $的函数表达式为$ y=3(x-3)$，即$ y=3 x-9$
$(2) $设$ y-1=k x$，
把$ x=2$，$y=-4 $代入得$ -4-1=2\ \mathrm {k}$，解得$ k=-\frac {5}{2}$
∴$y-1=-\frac {5}{2} x$
∴$y $与$ x $的函数表达式为$ y=-\frac {5}{2} x+1$；
$(3) $设$ y-{1}=a x$，$y-{2}=b(x-2)$，则$ y=a x+b(x-2)$，
把$ x=-1$，$y=2$和$x=2$，$y=5 $代入得
$\begin {cases}{-a-3\ \mathrm {b}=2}\\{2a=5}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{a=\frac {5}{2}}\\{b=-\frac {3}{2}}\end {cases}$
∴$y=\frac {5}{2} x-\frac {3}{2}(x-2)=x+3$，
∴$y $与$ x $的函数表达式为$ y=x+3.$
