解：$ (1) $由題意，$ $可知$ y=40-\frac {1}{100} ×10 x$，$ $即$ y=-0.1 x+40$，
∴$y $与$ x $之间的函数表达式$ y=-0.1 x+40(0 \leqslant x \leqslant 40).$
$(2) $∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的$ \frac {1}{4}$，
∴$y \geqslant 40 ×\frac {1}{4}=10$，$ $则$ -0.1 x+40 \geqslant 10$，
∴$x \leqslant 300 \text {. }$
故该辆汽车最多行驶的路程是$ 300\ \mathrm {km}.$
