解：$(1) $由题意知每吨水的政府补贴优惠价为$m $元$/\mathrm {m^3}$，$ $每吨水的市场价为$n $元$/\mathrm {m^3}.$
由题意得$\begin {cases}{14m+(20-14)n=49}\\{14m+(18-14)n=42}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{m=2}\\{n=3.5}\end {cases}$
所以每吨水的政府补贴优惠价是$ 2 $元$/\mathrm {m^3}$，$ $市场价是$ 3.5$元$/\mathrm {m^3}.$
$(2)$当$ 0 \leq x \leq 14 $时，$ y=2 x$；
当$ x>14 $时，$ y=14 ×2+3.5(x-14)=3.5 x-21$；
所以$ y $与$ x $之间的函数关系式为：
$y=\begin {cases}{2 x(0 \leqslant x \leqslant 14)}\\{3.5 x-21(x>14)}\end {cases}$
$(3).$将$ x=26 $代入函数关系式得，$y=3.5 x-21=3.5 ×26-21=70($元$ )$
∴小明家应交水费为$ 70 $元$.$
