解：$(1)$手机支付：
当$ 0<x \leqslant 0.5 $时，$ y=0 .$
当$ x>0.5 $时，$ $设$ y=k x+b(k \neq 0)$，
把$ (0.5$，$0)$，$(1$，$0.5) $代入得
$\begin {cases}{0=0.5\ \mathrm {k}+b}\\{0.5=k+b}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k=1}\\{b=-0.5}\end {cases}$
∴$y=x-0.5 .$
∴手机支付金额$ y ($元$) $与骑行时间$ x ($小时$) $之间的函数关系
式为$ y=\begin {cases}{0(0<x \leqslant 0.5)}\\{x-0.5(x>0.5)}\end {cases}$
$(2)$会员卡支付：
∵图像过原点，
∴设$ y=k x(k \neq 0)$，
把$ (1$，$0.75) $代入得：$ 0.75=k$，
∴$y=0.75 x$
∴会员卡金额$ y ($元$) $与骑行时间$ x ($小时$) $之间的函数关系式
为$ y=0.75 x.$
当两种支付方式支付金额相同时，$0.75 x=x-0.5$
解得$ x=2.$
结合图象知，
当$ x<2$，$ $即骑行时间小于$ 2 $小时$ $时， 用手机支付较合算.
当$ x=2$，$ $即骑行时间恰好为$ 2 $小时时， 两种支付方式相同.
当$ x>2$，$ $即骑行时间超过$ 2 $小时时， 用会员卡支付较合算.
