解：$(1)$设不使用会员卡租书的金额$ y ($元$) $和租书时间$ x ($天$)$之间的
函数表达式为：$ y_1=k_1 x$；
使用会$ $员卡租书的金额$y ($元$) $和租书时间$ x ($天$) $之间的$ $函数表达式
为：$ y_2=k_2 x+20$
把$ (100$，$50) $分别代入得：$ k_1=0.5 $；$ k_2=0.3.$
∴$y_1=0.5 x $；$ y_2=0.3 x+20$
$(2)$不使用会员卡每天租书的费用是$0.5$元， 使用会员卡每天租书
的费用是$0.3$元，$ $再加上$ 20 $元的基本费用.
由图像可知：当租书时间为$ 100 $天时两种租书费用相等.
$(3)$当$ x=150 $时，$ y_1=75 $；$ y_2=65$
∵$y_1>y_2$
∴采用使用会员卡比较划算.
