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解：$(1) $当$ y=0 $时，$ -2 x+8=0$，$ $解得$ x=4$，

所以$ Q $点的坐标为$ (4$，$0)$；

$(2)$如图，$ $当$ x \leqslant 4 $时，$ y \geqslant 0$；

$(3)$设$ P(t$，$-2\ \mathrm {t}+8)$，

∵$\triangle P O Q $的面积为$ 6 $，

∴$\frac {1}{2} ·4 ·|-2\ \mathrm {t}+8|=6$，

解得$ t=\frac {5}{2} $或$ t=\frac {11}{2}$

∴$P $点坐标为$ (\frac {5}{2}$，$ 3) $或$ (\frac {11}{2}$，$-3).$

解：$(1)$由题意得：$ $运往甲厂的煤炭质量$ x(\mathrm {t})$，$ $运往乙厂的煤炭质量为$ (100-x)\ \mathrm {t}$，

∴$y=1 ×150 x+1.2 ×100 ×(100-x)=30 x+12000$

∵$x \leq 60$，$100-x \leq 80$，

∴$20 \leq x \leq 60 .$

$(2) $∵$y=30 x+12000(20 \leq x \leq 60)$，

∵$k=30>0$，

∴$y $随$ x $的增大而增大，

∴$x=20 $时，$ $费用最少为$30 ×20+12000=12600($元$) .$