解：$(1) $设直线$ A B $的函数解析式为
$y=k x+b(k$、$ b $为常数且$ k \neq 0 )$
依题意，得$ A(1$，$0)$，$ B(0$，$2)$
$\begin {cases}{0=k+b}\\{2=0+b}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k=-2}\\{b=2}\end {cases}.$
∴直线$ A B $的函数解析式为$ y=-2 x+2 $当
$0 \leqslant y \leqslant 2 $时，$ $自变量$ x $的取值范围是$ 0 \leqslant x \leqslant 1.$
$(2)$线段$ B C $即为所求$.$
设直线$ B C $的解析式为$ y=\frac {1}{2} x+n$，
把$ B(0$，$2) $代入得，$ n=2$，
∴直线$ B C $的解析式为$ y=\frac {1}{2} x+2.$
