解：$(1)$把$ P(m$，$ 4) $代入$ y_2=4 x-4 $得
$4m-4=4$，$ $解得$ m=2$，
所以$ P $点坐标为$ (2$，$4)$，
作$ P M \perp x $轴于$ M$，$ $则$ O M=2$，$ P M=4.$
∵直线$ l_2 $交$ x $轴于点$ C$，
∴$C(1$，$0)$，
∴$O C=1$，$ C M=1$，
∴$S_{\text {四边形 } O B P C}=S_{\text {梯形 } O B P M}-S_{\triangle P C M}$
$=\frac {1}{2}(2+4) ×2-\frac {1}{2} ×1 ×4=4$
$(2) $∵$O B=2$，
∴设直线$ l_1 $的解析式为$ y_1=k x+2$，
把$ P(2$，$4) $代入$ y_1=k x+2 $得$2k+2=4$，
解得$ k=1$；
∴直线$ l_1 $的解析式为$ y_1=x+2$；
$(3) $当$ y=0 $时，$ x+2=0$，$ $解得$ x=-2$，$ $则$ A(-2$，$0)$，
当$ y=0 $时，$ 4 x-4=0$，$ $解得$ x=1$，$ $则$ C(1$，$0)$，
∴$A C=3$，
设$ Q $点坐标为$ (t$，$ 4t-4)$，
∵$S_{\triangle Q A C}=S_{\text {四边形 } O B P C}=4$，
∴$\frac {1}{2} ×3 ×|4t-4|=4$，
解得$ t=\frac {5}{3}$或$t=\frac {1}{3}$，
所以$ Q $点的坐标为$ (\frac {5}{3}$，$ \frac {8}{3}) $或$ (\frac {1}{3}$，$-\frac {8}{3}).$
