解：$(1)MN=BM+NC$，理由如下：
延长$AC$至$E$，使得$CE=BM$，连接$DE$，如图$1.$
∵$△BDC$为等腰三角形，$△ABC$为等边三角形，
∴$BD=CD$，$∠DBC=∠DCB$，
$∠MBC=∠ACB=60°$，
又∵$BD=DC$，且$∠BDC=120°$，
∴$∠DBC=∠DCB=30°$，
∴$∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=90°$，
∴$∠MBD=∠ECD=90°$，
在$△MBD$与$△ECD$中，
$\begin {cases}{BD=CD}\\{∠MBD=∠ECD}\\{CE=BM}\end {cases}$
∴$△MBD≌△ECD(\mathrm {SAS})$，
∴$MD=DE$，$∠BDM=∠CDE$，
∵$∠MDN=60°$，$∠BDC=120°$，
∴$∠BDM+∠CDN=60°$，
∴$∠CDE+∠CDN=60°$，即$∠EDN=60°$，
∴$∠EDN=∠MDN$，
在$△DMN$和$△DEN$中，
$\begin {cases}{ND=ND}\\{∠EDN=∠MDN}\\{MD=ED}\end {cases}$
∴$△DMN≌△DEN(\mathrm {SAS})$，
∴$MN=EN=NC+CE=BM+NC$；
$(2)$利用$(1)$中的结论得出：
$△AMN$的周长$=AM+MN+AN$
$=(AM+BM)+(NC+AN)$
$=2+2=4$；
$(3)$按要求作出图形，如图$2$，
$(1)$中结论不成立，应为$MN=NC-BM$，
理由：在$CA$上截取$CE=BM$，
∵$△ABC$是正三角形，
∴$∠ACB=∠ABC=60°$，
又∵$BD=CD$，$∠BDC=120°$，
∴$∠BCD=∠CBD=30°$，
∴$∠MBD=∠ECD=90°$，
又∵$CE=BM$，$BD=CD$，
在$△BMD$和$△CED$中，
$\begin {cases}{CE=BM}\\{∠MBD=∠ECD=90°}\\{BD=CD}\end {cases}$
∴$△BMD≌△CED(\mathrm {SAS})$，
∴$DE=DM$，
在$△MDN$和$△EDN$中，
$\begin {cases}{ND=ND}\\{∠EDN=∠MDN}\\{MD=ED}\end {cases}$
∴$△MDN≌△EDN(\mathrm {SAS})$，
∴$MN=NE=NC-CE=NC-BM.$
