解：$(1) $∵把$ x=1$，$ y=-2 $代入一次函数$ y=k x-3 $得：，
$k-3=-2$，$ $解得$ k=1$，
∴一次函数关系式为$ y=x-3$；
$(2) $∵当$ x=2 $时，$ y=2-3=-1$，
∴点$ (2$，$-1) $在此函数的图象上；
$(3) $由$ y=0 $得，$ x-3=0$，
解得，$ x=3$，
∵$k=1>0$
∴当$ x \leqslant 3 $时，$ y \leqslant 0.$
