解：$(2)BD^2+CD^2=2AD^2$，
理由如下：连接$CE$，
由$(1)$得，$△BAD≌△CAE$，
∴$BD=CE$，$∠ACE=∠B$，
∴$∠DCE=90°$，
∴$CE^2+CD^2=ED^2$，
在$Rt△ADE$中，$AD^2+AE^2=ED^2$，又$AD=AE$，
∴$BD^2+CD^2=2AD^2$；
$(3)$如图$③$，作$AE⊥AD$，使$AE=AD$，连接$CE$，$DE$，
∵$∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD$，
∴$∠BAD=∠CAE$，
在$△BAD$与$△CAE$中，
$\begin {cases}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end {cases}$
∴$△BAD≌△CAE(\mathrm {SAS})$，
∴$BD=CE=12$，
∵$∠ADC=45°$，$∠EDA=45°$，
∴$∠EDC=90°$，
∴$DE^2=CE^2-CD^2=12^2-4^2=128$，
∵$∠DAE=90°$，$AD^2+AE^2=2AD^2=128$，
∴$AD=8.$
