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解：$(1)$分三种情况讨论：$①$设购进甲种电视机$x$台，购进乙种电视机$(50-x)$台$.$

根据题意，得$ 1500x+2100(50-x)=90000.$

解得$x=25$，

此时$50-x=25.$

所以购进甲种电视机$25$台，乙种电视机$25$台$.$

$②$设购进甲种电视机$y$台，购进丙种电视机$(50-y)$台$.$

根据题意，得$1500y+2500(50-y)=90000.$

解得$y=35$，

此时$50-y=15.$

所以购进甲种电视机$35$台，丙种电视机$15 $台

$③$设购进乙种电视机$m $台，购进丙种电视机$(50-m)$台$.$

根据题意，得$2100m+2500(50-m)=90000.$

解得$m=87.5($不合题意，舍去).

综上所述，该商场有$2$种进货方案，方案一：购进甲种电视机$25$台，乙种电视机$25$台；

方案二：购进甲种电视机$35$台，丙种电视机$15$台$.$

$(2)$方案一的利润为$25×150+25×200=8750($元$)$，

方案二的利润为$35×150+15×250=9000($元$).$

因为$9000>8750$，

所以方案二获利多，即为使获利最多，应选择购进甲种电视机$35$台，丙种电视机$15$台$.$

解：方案三获利最多

方案一：因为$16×15=240($吨$)$，$240＞140$，

所以可以在$15$天内加工完，

总利润为$140×4500=630000($元$).$

方案二：因为每天精加工$6 $吨，$15×6=90($吨$)$，$140-90=50($吨$)$，

所以$15$天可以精加工$90$吨，其余$50$吨直接销售，

总利润为$90×7500+50×1000=725000($元$).$

方案三：设$15$天中粗加工$x$天，则精加工$(15-x)$天$.$

根据题意，得$ 16x+6(15-x)=140.$

解得$x=5.$

此时粗加工$5$天，共加工蔬菜$16×5=80($吨$)$，精加工$10$天，共加工蔬菜$6×10=60($吨$)$，

总利润为$60×7500+80×4500=810000($元$). $

因为$ 630000＜725000＜810000$，

所以方案三获利最多.