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C

$\frac{\sqrt{6}}{6}$

$\sqrt{2}$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$证明:(1)如图，连接 OD.\ $

$∵ AC=BC，$

$∴ ∠A=∠B.$

$∵∠ACB=90°，$

$∴∠A=45°$

$∵ \widehat{CD}=\widehat{CD},$

$∴∠COD=2∠A=90°\ $

$∵ DE//CF,$

$∴ ∠COD+∠EDO=180°.$

$∴∠EDO=90°，即OD⊥DE.$

$∵OD是⊙O的半径，$

$∴DE为⊙O的切线$（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H.$

$∵四边形ABCD是菱形，AB=6，$

$∴AB//CD,AD//BC,AB=CD=AD=6.$

$∴ ∠DCH=∠B=30°,∠ADF=∠DEH.\ $

$∴ 在Rt△DHC中,$

$DH=CD.sin_{30}°=6×\frac{1}{2}=3.$

$∵AF⊥DE,DH⊥BC，$

$∴∠AFD=∠DHE=90°.$

$∴△ADF∽△DEH.$

$∴\frac{AD}{DE}=\frac{AF}{DH}$

$∴\frac{6}{x}=\frac{y}{3}.$

$∴y=\frac{18}{x}$

$解:(2)如图，过点C作CH⊥AB于点H.$

$∵在Rt△AHC中，sinA=\frac{CH}{AC},AC=4，$

$∴CH=4×sin_{45}°=2\sqrt{2}\ $

$∵在Rt△CHF中,an∠CFD=\frac{CH}{FH}=2，$

$∴FH=\sqrt{2}$

$∴在Rt△CHF 中，由勾股定理，得\ $

$CF = \sqrt{CH+FH²}\ $

$=\sqrt{(2\sqrt{2})²+(\sqrt{2})²}= \sqrt{10}$

$∵在Rt△ODF中,tan∠CFD=\frac{OD}{OF}=\frac{OD}{CF-OC}$

$=\frac{OD}{\sqrt{10}-OD}=2，$

$∴OD=\frac{2\sqrt{10}}{3}$

$∴⊙O的半径为\frac{2\sqrt{10}}{3}$

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