解：$(1)S $和$S_1$都闭合时，电阻$R_1$与$R_2$并联，由乙图可知此时电流值$I_{\mathrm {max}}=3\ \mathrm {A}$，则功率：
$P_{\mathrm {max}}=UI_{\mathrm {max}}=220\ \mathrm {V}×3\ \mathrm {A}=660\ \mathrm {W}$；
$(2)$开关$S_1$断开时，电路中只有$R_1$工作，由乙图可知通过$R_1$的电流值$I_1=2\ \mathrm {A}$，
则根据并联电路的电流特点可知：
电阻$R_1$与$R_2$并联时$I_2=I_{\mathrm {max}}-I_1=3\ \mathrm {A}-2\ \mathrm {A}=1\ \mathrm {A}$，
根据欧姆定律得：
$R_2=\frac {U}{I_2}=\frac {220\ \mathrm {V}}{1\ \mathrm {A}}=220\ \mathrm {Ω}$；
$(3)$只有$R_1$工作时功率$P_1=UI_1=220\ \mathrm {V}×2\ \mathrm {A}=440\ \mathrm {W}$，由乙图可知：
$t′=10 \mathrm {\mathrm {min}}+(20 \mathrm {\mathrm {min}}-15 \mathrm {\mathrm {min}})=15 \mathrm {\mathrm {min}}=900\ \mathrm {s}$，
$t″=(15 \mathrm {\mathrm {min}}-10 \mathrm {\mathrm {min}})+(30 \mathrm {\mathrm {min}}-20 \mathrm {\mathrm {min}})=15 \mathrm {\mathrm {min}}=900\ \mathrm {s}$，
则$Q′=W′=P_{\mathrm {max}}t′=660\ \mathrm {W}×900\ \mathrm {s}=5.94×10^5\ \mathrm {J}$，
$Q″=W″=P_1\ \mathrm {t}″=440\ \mathrm {W}×900\ \mathrm {s}=3.96×10^5\ \mathrm {J}$，
$Q=Q′+Q″=5.94×10^5\ \mathrm {J}+3.96×10^5\ \mathrm {J}=9.9×10^5\ \mathrm {J}.$
