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$\frac{7}{4}$

$解：(1) 把点 P(-2，3) 代入 y=x^2+a x+3，得$

$3=(-2)^2-2\ \mathrm {a}+3，解得 a=2，$

$所以 y=x^2+2 x+3=(x+1)^2+2，$

$所以该二次函数图像的顶点坐标为 (-1，2).$

$(2)①把 x=2 代入 y=x^2+2 x+3，得$

$y=2^2+2 \times 2+3=11，$

$所以当 m=2 时， n=11.$

$②n 的取值范围为 2 \leqslant n\lt 11.$

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