$解：过点 C 作 C H \perp A B 于点 H，\ $
$则C H=B D， B H=C D=0.5\ \mathrm {m}，$
$\angle A C H=45^{\circ}， \angle A HC=90^{\circ}.$
$所以 \angle C A H=90^{\circ}-\angle A C H =\angle 45^{\circ}，$
$所以 \angle A C H=\angle C A H，$
$所以 A H=C H.$
$设 A H=C H=B D=x\ \mathrm {m}，\ $
$则 A B=A H+B H=(x+0.5)\ \mathrm {m}.$
$因为 D G=5\ \mathrm {m}，$
$所以 B G=B D+D G=(x+5)\ \mathrm {m}.$
$因为 E F \perp F B， A B \perp F B，$
$所以 \angle E F G=\angle A B G=90^{\circ}.$
$又 \angle E G F=\angle A G B，$
$所以 \triangle E F G \backsim \triangle A B G，$
$所以 \frac {E F}{A B}=\frac {F G}{B G}.$
$因为 E F=1.6\ \mathrm {m}， F G=2\ \mathrm {m}，$
$所以 \frac {1.6}{x+0.5}=\frac {2}{x+5}，\ $
$解得 x=17.5.$
$经检验， x=17.5 是 原分式方程的解，\ $
$则 A B=18\ \mathrm {m}.$
$故这棵古树 A B 的高为 18\ \mathrm {m}.$
