第89页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

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B

$\sqrt{5} $

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$解：因为 D为 A C 的中点，$

$所以 A C=2\ \mathrm {A}\ \mathrm {D}=2\ \mathrm {C}\ \mathrm {D}.$

$因为 B C=A C，$

$所以 B C=2\ \mathrm {C}\ \mathrm {D}.$

$因为 \angle C=90^{\circ}，$

$所以 \angle A=\angle A B C=\frac {1}{2}(180^{\circ}-\angle C)=45^{\circ}，$

$\ \tan \angle B D C=\frac {B C}{C D}=2.$

$过点 D 作 D H \perp A B 于点 H，\ $

$则 \angle A H D=\angle B H D=90^{\circ}，$

$所以 \angle A D H=90^{\circ}-\angle A=45^{\circ}，$

$所以 \angle A=\angle A D H，$

$所以 A H=D H.$

$设 A H=D H=a，\ $

$则 A D=\sqrt{A H^2+D H^2}=\sqrt{2}\ \mathrm {a}，$

$所以 B C=A C=2\ \mathrm {A}\ \mathrm {D}=2 \sqrt{2}\ \mathrm {a}，$

$所以 A B=\sqrt{A C^2+B C^2}=4\ \mathrm {a}，$

$所以 B H=A B-A H=3\ \mathrm {a}，$

$所以 \tan \angle A B D= \frac {D H}{B H}=\frac {1}{3}.$

$解：连接 B D.\ $

$因为 A B 是半圆 O 的直径，$

$所以 \angle A D B=90^{\circ}.$

$解方程 x^2-7 x+12=0，得 x_1=3， x_2=4.$

$因为 A B\gt C D，$

$所以 A B=4， C D=3.$

$由圆周角定理，\ $

$得 \angle C=\angle A， \angle C D P=\angle A B P，$

$所以 \triangle C P D \backsim \triangle A P B，$

$所以 \frac {P D}{P B}=\frac {C D}{A B}=\frac {3}{4}.$

$设 P D=3 x，则 P B=4 x，$

$所以 B D=\sqrt{P B^2-P D^2}=\sqrt{7} x，$

$所以 \tan \angle D P B=\frac {B D}{P D}=\frac {\sqrt{7}}{3}$

$解：(1)证明：因为 A C \perp B D，$

$所以 \angle A E D=90^{\circ}，$

$所以 \angle A D E=90^{\circ}-\angle C A D.$

$因为 A B=A C，$

$所以 \angle A B C=\angle A C B=\angle A D E=90^{\circ}-\angle C A D.$

$因为 \angle B A C+\angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}，$

$所以 \angle B A C=180^{\circ}-(\angle A B C+\angle A C B)=2 \angle C A D.$

$解:(2) 因为 D F=D C，$

$所以 \angle F C D=\angle C F D，$

$所以 \angle B D C=\angle F C D+\angle C F D=2 \angle C F D.$

$又 \angle B D C=\angle B A C=2 \angle C A D，$

$所以 \angle C A D=\angle C F D.$

$因为 \angle C A D=\angle C B D，$

$所以 \angle C B D=\angle C F D，$

$所以 C F=B C.$

$因为 A C \perp B F，$

$所以 \angle A E B=\angle C E B=90^{\circ}， B E=E F，$

$所以 A C 垂直平分 B F，$

$所以 A C=A B=A F=10.$

$设 A E=x，则 C E=A C-A E=10-x.$

$因为 A E^2+B E^2=A B^2， C E^2+B E^2=B C^2，$

$所以 A B^2-A E^2=B C^2-C E^2.$

$因为 B C=4 \sqrt{5}，$

$所以 10^2-x^2=(4 \sqrt{5})^2-(10-x)^2，\ $

$解得 x=6 ，$

$所以 A E=6， C E=4，$

$所以 B E=\sqrt{A B^2-A E^2}= 8.$

$因为 \angle D A E=\angle C B E， \angle A D E=\angle B C E，$

$所以 \triangle A D E \backsim \triangle B C E，$

$所以 \frac {A E}{B E}=\frac {D E}{C E}=\frac {A D}{B C}，$

$即 \frac {6}{8}=\frac {D E}{4}=\frac {A D}{4 \sqrt{5}}，$

$所以 D E=3， A D=3 \sqrt{5}，$

$所以 B D=B E+D E=11.$

$过点 D 作 D H \perp A B，垂足为，则 ∠AHD=90°$

$因为 S_{\triangle A B D}=\frac {1}{2}\ \mathrm {A}\ \mathrm {B} \cdot D H=\frac {1}{2}\ \mathrm {B}\ \mathrm {D}·A E，$

$所以 D H=\frac {B D \cdot A E}{A B}=\frac {33}{5}，$

$所以 A H=\sqrt{A D^2-D H^2}=\frac {6}{5}，$

$所以 \tan \angle B A D=\frac {D H}{A H}=\frac {11}{2}.$