$解：连接 B E.\ $
$因为 A B=A C=4，$
$所以 \angle A B C=\angle C=72^{\circ}，$
$所以 \angle A=180^{\circ}-\angle A B C-\angle C=36^{\circ}.$
$因为 D 是 A B 的中点， D E \perp A B，$
$所以 A D=\frac {1}{2}\ \mathrm {A}\ \mathrm {B}=2， \angle A D E=90^{\circ}，\ $
$D E 垂直平分 A B，$
$所以 A E=B E，$
$所以 \angle A B E=\angle A=36^{\circ}，$
$所以 \angle E B C=\angle A B C-∠ A B E=36^{\circ}，$
$所以 \angle B E C=180^{\circ}-\angle E B C-\angle C=72^{\circ}，$
$所以 \angle B E C=\angle C，$
$所以 B E=B C，$
$所以 A E=B E=B C.$
$设 A E=B E=B C=x，\ $
$则 E C=A C-A E=4-x.$
$因为 \angle E B C=\angle A， \angle B C E=\angle A C B，$
$所以 \triangle B C E \backsim \triangle A C B，$
$所以 \frac {E C}{B C}=\frac {B E}{A B}，\ $
$即\frac {4-x}{x}=\frac {x}{4}，$
$解得 x=-2 \pm 2 \sqrt{5}.$
$经检验， 它们都是原分式方程的解.$
$又 0＜x＜4$
$所以 A E=-2+2 \sqrt{5}，$
$所以 \cos A=\frac {A D}{A E}=\frac {\sqrt{5}+1}{4}.$
