$解：连接 O A. 设 \odot O 的半径为 r，\ $
$则 O A=O B=r.$
$因为 PB=2，$
$所以 O P=O B+P B=r+2.$
$因为 P A 是 \odot O 的切线，$
$所以 O A \perp P A，$
$所以 \angle O A P=90°，$
$所以 O A^2+P A^2=O P^2.$
$因为 P A=4，$
$所以 r^2+4^2=(r+2)^2， 解得 r=3，$
$所以 O P=5，$
$所以 \cos P=\frac {P A}{O P}=\frac {4}{5}.$
$过点 A 作 A H \perp C P， 垂足为 H，\ $
$则 \angle A H C=\angle A H P=90^{\circ}.$
$因为 S_{\triangle O A P}=\frac {1}{2}\ \mathrm {O}\ \mathrm {A} \cdot P A=\frac {1}{2}\ \mathrm {O}\ \mathrm {P}·A H，$
$\ O A=3， P A=4， O P=5，$
$所 以 A H=\frac {O A \cdot P A}{O P}=\frac {12}{5}，$
$所以 O H=\sqrt{O A^2-A H^2}=\frac {9}{5}.$
$因为 O C=3，$
$所以 C H=O C+O H=\frac {24}{5}，$
$所以 \tan \angle A C P=\frac {A H}{C H}=\frac {1}{2}$
