$解:(2)连接OC,过点 A 作AE⊥CD 于点E,$
$则 ∠AEC=∠AED=90°.$
$因为cos∠ADC=\frac{\sqrt{2}}{4},$
$所以\frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$
$因为AD=2 \sqrt{2},$
$所以DE=1,$
$所以 AE= \sqrt{AD²-DE²}= \sqrt{7}.\ $
$因为△ABC∽△CBD,$
$所以\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}.$
$因为AB=4 \sqrt{2},BC=4,$
$所以\frac{AC}{CD}= \sqrt{2}.\ $
$设 CD=x,$
$则 AC= \sqrt{2} x,CE=CD-DE=x-1.\ $
$因为 AE²+CE²=AC²,$
$所以( \sqrt{7})²+(x-1)²=( \sqrt{2} x)²,$
$解得x_{1}=2,x_{2}=-4(不合题意,舍去),$
$所以CE=1,AC=2 \sqrt{2},$
$所以AC=AD,$
$所以AE垂直平 分CD,$
$所以点O在线段AE上.$
$设⊙O的半径为r,$
$则OA=OC=r,OE=AE-OA= \sqrt{7}-r.$
$因为∠OEC=90°,$
$所以 OE²+CE²=OC²,$
$所以( \sqrt{7}-r)²+1²=r²,$
$解得r=\frac{4\sqrt{7}}{7}.$
$故⊙O的半径为\frac{4\sqrt{7}}{7}.$