第106页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

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B

$\frac{\sqrt{21}}{7} $

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$解：如图，分别延长 A D， B C 交于点 E.$

$因为 A B=17， \angle A=90^{\circ}， \cos B=\frac {3}{5}，$

$所以 B E=\frac {A B}{\cos B}=\frac {85}{3}，$

$所以 A E=\sqrt{B E^2-A B^2}=\frac {68}{3}.$

$因为 \angle D C E+\angle B C D=180^{\circ}，\ $

$\angle A+\angle B C D=180^{\circ}，$

$所以 \angle D C E=\angle A=90^{\circ}.$

$同理可得 \angle C D E=\angle B，$

$所以 \cos \angle C D E=\cos B=\frac {3}{5}.$

$因为 C D=10，$

$所以 D E=\frac {C D}{\cos \angle C D E}=\frac {50}{3}，$

$所以 A D=A E-D E=6.$

$解：(1) 如图，连接 O B.\ $

$因为 O A=O B，$

$所以 \angle A B O=\angle A=30^{\circ}.$

$因为 \angle A C B=90^{\circ}，$

$所以 \angle A B C=90^{\circ}-∠A=60°$

$所以 ∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°$

$因为 BC=1$

$所以 OB=\frac {BC}{cos∠OBC}=\frac {2\sqrt{3}}3$

$故⊙O的半径为 \frac {2 \sqrt{3}}{3}.$

$解:(2) 如图，连接 O P. 因为 P 为 \widehat{A B} 的中点，$

$所以 \widehat{P A}=\widehat{P B}，$

$所以 \angle A O P=\angle B O P.$

$因为 O A=O B，$

$所以 O P \perp A B，$

$所以 \angle A+\angle Q O P=90^{\circ}.$

$因为 P Q \perp A C，$

$所以 \angle O P Q+\angle Q O P=90^{\circ}，$

$所以 \angle O P Q=∠A=30°$

$所以 OQ=\frac 12OP$

$因为 OP=\frac {2\sqrt{3}}3$

$所以 OQ=\frac {\sqrt{3}}3$

$解:(3) 因为 \angle A C B=90^{\circ}， \angle O B C=30^{\circ}，\ $

$O B=\frac {2 \sqrt{3}}{3}，$

$所以 O C=\frac {1}{2}\ \mathrm {O}\ \mathrm {B}=\frac {\sqrt{3}}{3}.$

$因为 O Q=\frac {\sqrt{3}}{3}，$

$所以 C Q=O C+O Q=\frac {2 \sqrt{3}}{3}.$

$因为 \angle O Q P=90^{\circ}， O P=\frac {2 \sqrt{3}}{3}， \angle O P Q=30^{\circ}，$

$所以 P Q=O P \cdot \cos \angle O P Q=1，$

$所以 \tan \angle P C A=\frac {P Q}{C Q}=\frac {\sqrt{3}}{2}.$