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$ 解：(1)∵点 (m，2)在正比例函数y_1=\frac{1}{2}x的图像上，$

$∴2= \frac{1}{2}m，解得m=4.$

$∴A(4，2).$

$∵点A(4，2)在函数y_2=\frac{k}{x}(x\gt 0)的图像上，$

$∴k=4×2=8$

$∴函数y_2的表达式为y_2=\frac{8}{x} (x\gt 0)$

$(2)把直线y_1=\frac{1}{2}x向上平移3个单位长度所得直线对应的$

$函数表达式为y=\frac{1}{2}x+3，设该直线与y轴的交点为D，$

$则D(0，3)，连接AD.$

$∵BD//OA$

$∴S_{△AOB}=S_{△ADO}=\frac{1}{2}×3×4=6$

$解：（1）把 A(3，4) 代入 y=\frac{m}{x} ，得 m=12$

$\therefore 反比例函数的表达式为 y=\frac{12}{x}$

$把 B(n，-1) 代入 y=\frac{12}{x} ，得 n=-12$

$\therefore B(-12 ， -1)$

$把 A(3，4) 、 B(-12，-1) 代入 y=k x+b ，得$

$\begin{cases}3k+b=4\\-12k+b=-1\end{cases} 解得\begin{cases}k=\frac 13\\b=3\end{cases}$

$∴一次函数的表达式为y=\frac{1}{3} x+3$

$(2) 过点 A 作 A D \perp x 轴，垂足为 D$

$由题意，得 O D=3， A D=4$

$\therefore O A=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

$\because \triangle A O C 为等腰三角形，分三种情况讨论:$

$①当 O A=O C 时， O C=5 ，\ $

$此时点 C 的坐标为 (5，0) 或 (-5，0)$

$②当 A O=A C 时，\ $

$\because A(3，4) ，点 C 和点 O 关于过点 A 且垂直于 x 轴的直线对称$

$\therefore 此时点 C 的坐标为 (6，0)$

$③ 当 C A=C O 时，点 C 在线段 O A 的垂直平分线上$

$设 O C=t ，则 A C=t， C D=t-3$

$在 Rt \triangle A C D 中， 4^{2}+(t-3)^{2}=t^{2} ，解得 t=\frac{25}{6}$

$此时点 C 的坐标为 (\frac{25}{6}， 0) .$

$综上所述，点C的坐标为(5，0)或(-5，0)或(6，0)或(\frac {25}6，0)$

$(3)-12\lt x\lt 0或x\gt 3$

$ 解：(1)∵双曲线y= \frac {m}{x} 过点B(-1，2)$

$ ∴2= \frac {m}{-1}$

$ ∴m=-2$

$ ∴双曲线对应的函数表达式为y=-\frac 2{x}$

$ 又∵点A(2，a)在双曲线上$

$ ∴a=-1$

$∴A(2，-1)$

$ 将A、B两点的坐标代入y=kx+b$

$ 得\begin{cases}2k+b=-1\\-k+b=2\end{cases} 解得\begin{cases}k=-1\\b=1\end{cases}$

$ ∴直线y=kx+b对应的函数表达式为y=-x+1 $

$ (2)分两种情况讨论：①若点M、N在双曲线的同一支上，根据双曲线y=- \frac {2}{x} 可知，$

$ 在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大$

$ ∴当x_{1}＜x_{2}时，y_{1}＜y_{2}$

$ ②若点M、N不在双曲线的同一支上$

$ ∵x_{1}＜x_{2}，∴x_{1}＜0＜x_{2}$

$ ∴根据题图，可得y_{1}＞0＞y_{2}，即y_{1}＞y_{2} $

$x＜-1或0＜x＜2$