$解： \because 四边形 A B C D 是平行四边形$
$\therefore A D=B C, A D / / B C$
$\therefore \angle D A B+\angle A B C=180^{\circ}$
$又 \because \angle D A B: \angle A B C=1: 3$
$\therefore \angle D A B=45^{\circ}$
$又 \because B D \perp A B$
$\therefore 易得 \triangle A D B 和 \triangle C D B 都是等腰直角三角形$
$\therefore A B=B D=4$
$\therefore 在 Rt \triangle A B D 中, A D=\sqrt{A B^{2}+B D^{2}}=4 \sqrt{2}$
$\therefore B C=4 \sqrt{2}$
$在▱ A B C D 中, 对角线 A C, B D 相交于点 O$
$\therefore O A=O C, O B=O D=\frac{1}{2}\ \mathrm {B} D= 2$
$\therefore 在 Rt \triangle A B O 中, O A=\sqrt{A B^{2}+O B^{2}}=2 \sqrt{5}$
$\therefore A C= 4 \sqrt{5}$
$\because B D \perp A B, \therefore S_{▱A B C D}=A B \cdot B D=16$
