第43页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$8\sqrt{3}$

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$证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴OD=OB,CD// AB.\ $

$∴ ∠FDO = ∠EBO.\ $

$在△DFO 和△BEO 中，$

$\begin{cases}{∠FDO=∠EBO,\ }\\{OD=OB，\ }\\{\ ∠FOD=∠EOB,}\end{cases}$

$∴ △DFO≌△BEO.\ $

$∴ OE=OF$

$解:(2)∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴AB=CD,AD=BC,OA=OC.$

$∵EF⊥AC,$

$∴AE=CE.$

$∵△BEC的周长是10,$

$∴BC+BE+CE=BC+BE+AE$

$=BC+AB$

$=10$

$∴平行四边形ABCD的周长$

$=2(BC+AB)$

$=20$

$解：(1) \because A E \perp B D,\ $

$\therefore \angle A E O=90^{\circ}$

$\because \angle A O E=50^{\circ}$

$\therefore \angle E A O=40^{\circ}$

$\because A C 平分 \angle D A E$

$\therefore \angle D A C=\angle E A O= 40^{\circ}$

$\because 四边形 A B C D 是平行四边形$

$\therefore A D / / B C$

$\therefore \angle A C B=\angle D A C=40^{\circ}$

$证明:(2) \because 四边形 A B C D 是平四边形$

$\therefore O A=O C$

$\because A E \perp B D, C F \perp B D$

$\therefore \angle A E O= \angle C F O=90^{\circ}$

$在 \triangle A O E 和 \triangle C O F 中$

$\begin{cases}\angle A E O=\angle C F O \\ \angle A O E=\angle C O F \\ O A=O C\end{cases}$

$\therefore \triangle A O E ≌\triangle C O F$

$\therefore A E=C F$

$解： (1) 如图, 过点 C 作 C H \perp A B ,\ $

$交 A B 的延长线于点 H$

$\therefore \angle C H B=90^{\circ}$

$\because 四边形 A B C D 是平行四边形$

$∴AO=OC=\frac 12AC$

$∴AC=2AO=2\sqrt{13}$

$设BH=x，则AH=AB+BH=5+x$

$在Rt△ACH中，$

$由勾股定理得CH^2=AC^2-AH^2$

$在Rt△BCH中，CH^2=BC^2-BH^2$

$\therefore A C^{2}-A H^{2}=B C^{2}-B H^{2}$

$\therefore(2 \sqrt{13})^{2}-(5+x)^{2}=3^{2}- x^{2}$

$解得 x=\frac{9}{5}$

$\therefore B H=\frac{9}{5}$

$\therefore 在 Rt \triangle B C H 中, C H= \sqrt{B C^{2}-B H^{2}}=\frac{12}{5}$

$\therefore S_{▱ A B C D}=A B \cdot C H=12 \quad$

$证明:(2)如图, 过点 D 作 D F \perp A B 于点 F$

$\therefore \angle D F A=\angle C H B=90^{\circ}$

$\because 四边形 A B C D 是平行四边形$

$\therefore A D=B C, A D / / B C, C D= A B=5$

$\therefore \angle D A F=\angle C B H$

$在 \triangle A D F 和 \triangle B C H 中$

$\begin{cases}\angle D F A=\angle C H B\\ \angle D A F=\angle C B H\\AD=BC\end{cases}$

$∴△ADF≌△BCH$

$\therefore D F=C H=\frac{12}{5}， A F=B H=\frac{9}{5}$

$\therefore B F=A B-A F=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$

$在 Rt \triangle D F B 中,\ $

$由勾股定理, 得 B D^{2}=D F^{2}+B F^{2}=16$

$在 \triangle B C D 中,\ $

$\because B C^{2}+B D^{2}=3^{2}+16=25, C D^{2}=25$

$\therefore B C^{2}+B D^{2}=C D^{2}$

$\therefore \triangle B C D 是直角三角形, 且 \angle C B D=90^{\circ}$

$\therefore B O \perp B C$