$证明:(1)∵∠ACB=∠CA D,$ $∴AD//BC.$ $∴∠AEB=∠EAD$ $∵∠A EB+∠D=180°,$ $∴∠E AD+∠D=180°.$ $∴AE//CD.$ $∴四边形AECD是平行四边形$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$证明:∵四边形ABCD是平行四边形，$ $∴AB=CD,AB∥CD.$ $∴∠B=∠HCE.$ $∵E为边BC的中点，$ $∴BE=EC.$ $在△ABE和△HCE中,$ $\begin{cases}{ ∠B=∠HCE,}\\{\ BE=EC,\ }\\{∠AEB=∠HEC,}\end{cases}$ $∴△ABE≌△HCE.$ $ ∴AB=HC.$ $∴ DC=HC.$ $∵ G为DF的中点，$ $∴CG是△DFH的中位线.$ $∴CG//FH.$ $∵DF⊥A E,$ $∴CG⊥DF$
$证明:∵四边形A BCD是平行四边形，$ $∴AB//CD,AB=CD.$ $ ∵BE=DF,$ $∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF.$ $∵AB∥CD,$ $∴∠E=∠F.$ $在△AOE和△COF中,\ $ $\begin{cases}{ ∠AOE=∠CO F,}\\{∠E=∠F,}\\{AE=CF，}\end{cases}$ $ ∴△AOE≌△COF.$ $∴OE=OF$
$解:(2)如图，过点E作EH⊥AB于点H，$ $则∠A HE=90°.$ $∵∠ACB=90°，$ $∴AC⊥BC.$ $∵AE平分∠BAC,EC⊥AC,EH⊥AB,$ $∴EC=EH.$ $∵四边形AECD是平行四边形，$ $∴AD=EC.$ $∴A D=EC=EH.$ $∵EF⊥AE,$ $∴∠AEF=90°.$ $在Rt△AEF中,$ $由勾股定理，得EF²+AE²=AF².$ $∵ AF=5,AE=2\sqrt{5}，$ $∴ EF= \sqrt{5}$ $∵S_{△AEF}=\frac{1}{2}×AF×EH=\frac{1}{2}× AE×EF.$ $∴EH=2.$ $∴AD=2$
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