$证明：(1)∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD$
$∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF$
$∵MN//BC$
$∴∠FEC=∠BCE，∠EFC=∠DCF$
$∴∠FEC=∠ACE，∠EFC=∠ACF$
$∴OE=OC，OF=OC$
$∴OE=OF$
$(2) ∵ CE平分∠ACB，CF平分∠ACD$
$∴∠ACE=\frac 12∠ACB，∠ACF=\frac 12∠ACD$
$∴∠ACE+∠ACF =\frac 12∠ACB+\frac 12∠ACD=\frac 12(∠ACB+∠ACD)=\frac 12× 180°=90°即∠ECF=90°$
$在Rt△ECF中，∵ CE=12，CF=5$
$∴ EF= \sqrt{CE^2+CF^2}=13$
$由(1)，知OE=OF=OC$
$∴OC=\frac 12EF=6.5$
$(3)当点O在边AC的中点处时，四边形AECF是矩形，理由：$
$当O为AC的中点时，OA=OC$
$∵ OE=OF$
$∴四边形AECF是平行四边形$
$又∵∠ECF=90°$
$∴四边形AECF是矩形$
