第55页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

$2 \sqrt{31}$

$2\sqrt{3}$

4.8

$解：(1)AE=EF=AF$

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$证明:(1)∵ 四边形ABCD为菱形，$

$∴ BA=BC,∠ABD=∠CBD.\ $

$在 △ABE 和 △CBE 中，\ $

$\begin{cases}{\ BA=BC，\ }\\{∠ABE=∠CBE,}\\{BE=BE,\ }\end{cases}$

$∴△ABE≌△CBE.\ $

$∴ AE=CE$

$解:(2)设∠BAP=α。\ $

$∵△ABE≌△CBE,$

$∴∠BAP=∠BCE=α.$

$∵AE=PC,AE=CE,$

$∴ PC=CE.\ $

$∴∠CPE=∠CEP=\frac{1}{2}×(180°-∠BCE)$

$=90°-\frac{1}{2}α.\ $

$∵ ∠CPE是△ABP 的一个外角，∠ABC=45°,$

$∴∠CPE=∠ABC+∠BAP.$

$∴ 90°-\frac{1}{2}α=45°+α.$

$∴a=30°.$

$∴∠BAP=30°$

$证明:(2) 如图①，连接AC$

$由题意，易得△ABC，△ACD为等边三角形$

$∴ AB=AC，∠B=∠ACF=60°，$

$∠BAC=∠EAF=60°$

$∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF$

$∴∠BAE=∠CAF$

$在△BAE和△CAF中$

$\begin{cases}∠B=∠ACF\\AB=AC\\∠BAE=∠CAF\end{cases}$

$∴△BAE≌△CAF$

$∴BE=CF$

$解:(3)如图②，连接AC，$

$过点A作AG⊥BC于点G，$

$过点F作FH⊥BC于点H$

$∵∠EAB= 15°，∠ABC= 60°$

$∴∠ AEB=45°$

$在Rt△AGB中，∵∠ABG=60°，AB= 4$

$∴易得BG=2，AG=2\sqrt{3}$

$在Rt△AEG中，∵∠AEG=45°$

$∴∠EAG=45°$

$∴ AG= EG=2\sqrt{3}$

$∴ EB= EG- BG=2\sqrt{3}-2$

$易证△AEB≌△AFC$

$∴ AE=AF，EB= FC=2\sqrt{3}-2，∠AEB=∠AFC=45°$

$∵∠EAF= 60°，∠EAG=45°$

$∴∠GAF= 15°$

$∵AG⊥BC，FH⊥BC$

$∴∠AGH =∠FHG = 90°$

$∴ AG //FH$

$∴∠HFA =∠GAF = 15°$

$∵∠AFC=45°$

$∴∠CFH =∠AFC-∠HFA = 30°$

$在Rt△CHF中，$

$∵∠CFH=30°，FC=2\sqrt{3}-2$

$∴ CH=\sqrt{3}-1$

$由勾股定理，得FH= \sqrt{FC^2-CH^2}\ $

$=3-\sqrt{3}$

$∴点F到BC的距离为3-\sqrt{3}$