$解:(1)△ABP是直角三角形 理由:$ $∵O是AB的中点，$ $∴OA=OB=\frac{1}{2}\ \mathrm {AB}.$ $∵ OP=\frac{1}{2}\ \mathrm {AB}，$ $∴ OP=OA=OB.$ $∴∠OBP=∠OPB,∠OAP=∠APO.$ $∵∠OAP+∠APO+∠OBP+ ∠OPB = 180°,\ $ $∴ ∠APO + ∠OPB = 90°.$ $∴∠APB=90°.$ $∴△ABP是直角三角形$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$证明:(1)∵E是A C的中点，$ $∴AE=EC.$ $∵EF=DE,$ $∴四边形ADCF是平行四边形$ $∵ 在△ABC中,∠CAB=90°,D是BC的中点,$ $∴AD=BD=DC=\frac{1}{2}BC.$ $∴四边形A DCF是菱 形$
$解:(2)如图，$ $过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G,$ $则∠BGF=90°$ $∵四边形ADCF是菱形，∠ACB=60°,AF=2$ $,∴CF=DC=AF=2,∠ACF=∠ACD=60°.$ $∴∠FCG=180°-∠ACF-∠ACD=60°.$ $∴∠GFC=180°-90°-60°=30°$ $.∴在Rt△CFG中,CG=\frac{1}{2}CF=1.$ $∴FG= \sqrt{CF²-CG²}=\sqrt{3}$ $∵BD=CD=2，$ $∴BG=BD+CD+CG=5.$ $在Rt△BFG中，由勾股定理，得$ $BF=\sqrt{BG²+GF²}=2\sqrt{7}$
$解:(2)如图①，延长AM,BC交于点Q.$ $∵M是DC的中点，$ $∴ DM=CM.$ $∵四边形ABCD是矩形，$ $∴∠D=∠DCB=∠ABC=90°,AD=BC.$ $∴∠MCQ=90°$ $∴∠D=∠MCQ.$ $又∵∠AMD=∠QMC,$ $∴△ADM≌△QCM.$ $∴AD=QC=BC.$ $由(1)，可知∠BPQ=∠APB=90°,$ $∴ PC=\frac{1}{2}BQ=BC.\ $ $∴ ∠CPB=∠CBP.$ $∵∠OPB=∠OBP,$ $∴∠OPC=∠CPB+∠OPB$ $=∠CBP+∠OBP$ $=∠OBC=90°$ $∴∠OPN=∠OPA+∠APN$ $=180°-∠OPC=90°$ $∵∠DAB=∠OAP+∠PAN=90°,$ $∠OAP=∠OPA,$ $∴∠APN=∠PAN.$ $∴PN=AN$
$解:(2)如图②，连接PN'.$ $由(2)，知PN=AN.\ $ $∵点N与点N关于AP对称，$ $∴PN=PN',AN=AN'$ $∴AN=AN'=PN'=PN.$ $∴四边形NPN'A为菱形.$ $∴NC//AE.AN∥PN'$ $∵四边形ABCD是矩形，$ $∴AD//BC,AB=DC=5.$ $∴AN//PN'//CE.$ $∴四边形CEN'P是平行四边形$ $∴CE=PN'=AN.$ $设CE=AN=x，$ $则DN=4-x$ $由(2)，知∠D=90°,CP=BC=4,PN=AN=x.\ $ $∴CN=4+x.\ $ $在Rt△DNC 中,由勾股定理，$ $得DN²+DC²=CN²,$ $即(4-x)²+5²=(4+x)²,$ $解得x=\frac{25}{16}$ $∴CE的长为\frac{25}{16}$
|
|
