解：由电路图可知，闭合开关，小灯泡$L $与滑动变阻器$ R $串联，电压表测$ R $两端的电压；
$(1)$小灯泡上标有$''5\ \mathrm {V} 2.5\ \mathrm {W}''$字样，小灯泡正常发光时的电流$I_{L}=\frac {P_{L}}{U_{L}}=\frac {2.5\ \mathrm {W}}{5\ \mathrm {V}}=0.5\ \mathrm {A}.$
$(2) $由欧姆定律可得，小灯泡的电阻$R_{L}=\frac {U_{L}}{I_{L}}=\frac {5\ \mathrm {V}}{0.5\ \mathrm {A}}=10\ \mathrm {Ω}$，当$ R=10\ \mathrm {Ω}$时，电路中的电流$I=\frac {U}{R+R_{L}}=\frac {9\ \mathrm {V}}{10\ \mathrm {Ω}+10\ \mathrm {Ω}}=0.45\ \mathrm {A}$，滑动变阻器的电功率$P_{1}=I^2R=(0.45\ \mathrm {A})^2×10 \ \mathrm {Ω}=2.025\ \mathrm {W}.$
$(3) $当滑动变阻器接入电路的阻值分别为$ R_{1}$、$R_{2} $时，电路中的电流分别为$ I_{1}= \frac {U}{R_{1}+R_{L}}$、$I_{2}=\frac {U}{R_{2}+R_{L}}$，滑动变阻器的电功率均为$P_{2}$，则$ P_{2}=I_{1}^2R_{1}=I_{2}^2R_{2}$，即$(\frac {U}{R_{1}+R_{L}})^2 R_{1}=(\frac {U}{R_{2}+R_{L}})^2R_{2}$，整理可得$(R_{1} -R_{2})(R_{L}^2-R_{1}R_{2})=0$，由$ R_{1}≠R_{2} $可知，$R_{1}R_{2}=R_{L}^2=(10\ \mathrm {Ω})^2=100\ \mathrm {Ω}^2.$
由串联分压可知，滑动变阻器接入电路的阻值越大，电压表示数越大，电压表的量程为$0\sim 15\ \mathrm {V}$，电源电压为$9\ \mathrm {V}$，所以滑动变阻器可接入电路的最大阻值为$40\ \mathrm {Ω}$；小灯泡正常发光时，电路中电流最大，则此时滑动变阻器接入电路的阻值最小，则滑动变阻器接入电路的最小阻值为$\frac {U}{I_{L}}-R_{L}=\frac {9\ \mathrm {V}}{0.5\ \mathrm {A}}-10\ \mathrm {Ω}=8\ \mathrm {Ω}$，所以滑动变阻器接入电路的阻值范围为$8\sim 40\ \mathrm {Ω}. $
若$ R_{2\ \mathrm {max}}=40 \ \mathrm {Ω}$，则对应的$ R_{1\mathrm {\mathrm {min}}}=\frac {100\ \mathrm {Ω}^2}{40\ \mathrm {Ω}}=2.5\ \mathrm {Ω}$，不在上述阻值范围内；若$R_{1\mathrm {\mathrm {min}}}=8\ \mathrm {Ω}$，则对应的$R_{2\ \mathrm {max}}=\frac {100\ \mathrm {Ω}^2}{8\ \mathrm {Ω}}=12.5\ \mathrm {Ω}$，在上述阻值范围内，综上所述，$R_{2}$的最大阻值为$ 12.5\ \mathrm {Ω}.$
