解：$(1) $当开关$S_{1} $和$S_{3} $闭合、$S_{2} $断开时，两电阻并联，总电阻最小，由$P=\frac {U^2}{R}$可知，总功率最大，为高温挡；只闭合$S_{3} $时，电路为$R_{2} $的简单电路，总阻值较小，总功率较大，为中温挡；当开关$S_{1}$和$S_{3}$断开、$S_{2} $闭合时，两电阻串联，总电阻最大，总功率最小，为低温挡，则$ R_{2} $的电阻$R_{2}=\frac {U^2}{P_{中温}}= \frac {(220\ \mathrm {V})^2}{440\ \mathrm {W}}=110\ \mathrm {Ω}.$
$(2) $高温挡时$R_{1}$功率$P_{1}=\frac {U^2}{R_{1}} \frac {(220\ \mathrm {V})^2}{44\ \mathrm {Ω}}=1100\ \mathrm {W}$，电流通过$R_{1}$产生的电热$Q_{1}=W_{1}=P_{1}t_{1}=1100\ \mathrm {W}×60\ \mathrm {s}=6.6×10^4\ \mathrm {J}.$
$(3) $空气炸锅消耗的电能$W=\frac {0.06元}{0.6元/(\mathrm {kW·h})}=0.1\ \mathrm {kW·h}$，空气炸锅工作的时间$t=15 \mathrm {\mathrm {min}}=0.25\ \mathrm {h}$，空气炸锅的功率$P=\frac {W}{t}=\frac {0.1\ \mathrm {kW·h}}{0.25\ \mathrm {h}}=0.4\ \mathrm {kW}=400\ \mathrm {W}.$
