解：$(2)$由$P=\frac {U^2}{R}$可得，$R_{I}=\frac {U^2}{P_{1}}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{550\ \mathrm {W}}=88\ \mathrm {Ω}$；
由$P=\frac {U^2}{R}$得，保温时$R_{1}$两端电压：$U_{1}=\sqrt {P_{2}R_{1}}=\sqrt {88\ \mathrm {W}×88\ \mathrm {Ω}}=88\ \mathrm {V}$，
由$U=U_{1}+U_{2}$得，此时$R_{2}$两端电压：$U_{2}=U-U_{1}=220\ \mathrm {V}-88\ \mathrm {V}=132\ \mathrm {V}$，
因为串联电路中电流处处相等，得：$\frac {U_{1}}{R_{1}}=\frac {U_{2}}{R_{2}}$，即：$\frac {88\ \mathrm {V}}{88\ \mathrm {Ω}}=\frac {132\ \mathrm {V}}{R_{2}}$，解得：$R_{2}=132\ \mathrm {Ω}$，
$(3)$水吸收的热量：$Q_{吸}=cm(t_{2}-t_{1})=4.2×10^3\ \mathrm {J/}(\mathrm {kg·℃})×1.0\ \mathrm {kg}×(100℃-20℃)=3.36×10^5\ \mathrm {J}$；
发热管放出的热量：$Q_{管}=\frac {Q_{吸}}{η}=\frac {3.36×10^5\ \mathrm {J}}{80\%}=4.2×10^5\ \mathrm {J}$
由：$P=\frac {W}{t}$，得所需加热时间：$t=\frac {Q_{管}}{P_{1}}=\frac {4.2×10^5\ \mathrm {J}}{550\ \mathrm {W}}≈764\ \mathrm {s}.$
