$证明:(1)如图，连接AC交EF于点O$
$∵四边形ABCD是菱形$
$∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD$
$∵BE=DF$
$∴BE+BO=DF+DO$
$∴EO=FO$
$∴EF与AC垂直且互相平分$
$∴四边形AECF是菱形$
$∴∠AEF=∠CEF$
$∵∠AED=45°$
$∴∠AEC=90°$
$∴四边形AECF是正方形$
$(2)解：∵BE=3$
$∴DF=3$
$∵BD=4$
$∴EF=BD+BE+DF=10$
$∵四边形AECF是正方形$
$∴AC=EF=10$
$∴菱形ABCD的面积为\frac 12AC \cdot BD=\frac 12×10×4=20$
