$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是正方形
∴$AD= CD=BC$，$∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°$，即$∠ADN+∠CDN=90°$
由折叠的性质，得$CF=CD$，$EF=ED$
∴$CE$垂直平分$DF$，即$∠CMD= 90°$，$FM = DM$
∴$∠CDN +∠DCE = 90°$，即$ ∠ADN = ∠DCE$
∴$△ADN≌△DCE(\mathrm {ASA})$
$(2)$解：$①$由$(1)$，得$∠BCD=90°$，$CD=BC$，$CD= CF$
∴$∠CDF = ∠CFD$，$BC = CF$，即$∠CBF= ∠CFB$
∴$∠CFB +∠CFD =∠CBF + ∠CDF$
又$ ∠CBF + ∠CFB +∠CFD+∠CDF+∠BCD=360°$，
$∠CFB+∠CFD=∠BFD$
∴$∠BFD=\frac {1}{2}(360°-∠BCD)=135°$
又$∠BFD+∠HFB=180°$，∴$∠HFB=180°-∠BFD=45°$
又$AH//BF$，∴$∠AHF=∠HFB=45°$
$②A H= \sqrt {2}FM$
