$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是矩形，∴$AB// CD$
∴$∠BAP=∠E$，$∠B=∠PCE$
∵$P $是$BC$的中点，∴$BP=CP$
∴$△ABP≌△ECP(\mathrm {AAS})$
$(2)$解：①∵四边形$ABCD$是矩形，$AB=6$，$AD=8$
∴$AD//BC$，$∠B=90°$，$CD=AB=6$，$BC=AD=8$
∴$∠APB=∠FAP$
由折叠的性质，得$∠APB=∠APF$，$AB'=AB=6$，$∠AB'P=∠B=90°$，$B'P=BP$
∴$∠FAP=∠APF$，∴$FA=FP$
∵$P $是$BC$的中点，∴$BP=CP=\frac {1}{2}BC=4$，即$B'P=4$
设$FA=x$，则$FP=x$，∴$B'F=x-4$
又$∠AB'F+∠AB'P=180°$，∴$∠AB'F=90°$
在$Rt△AB'F $中，由勾股定理，得$FA²=B'F²+AB'²$
∴$x²=(x-4)²+6²$，解得$x=\frac {13}{2}$
∴$FA$的长为$\frac {13}{2}$
$②$连接$AC$
由$(2)①$，得$BP=CP=B'P=4$，$BC=8$，$∠B=90°$，$AB'=6$
∴$△PCB'$的周长$=CP+B'P+CB'=8+CB'$
易知$AB'+CB'≥AC$，即当点$B'$恰好位于对角线$AC$上时，$AB'+CB'$的值最小，
且最小值为$AC$的长，
又$AB'$的长为定值
∴此时$CB'$的长最小，即$ △PCB'$的周长最小
在$Rt△ABC$中，由勾股定理，得$AC= \sqrt {AB²+BC²}=10$
∴$CB'$的长的最小值为$AC-AB'=4$
∴$△PCB'$的周长的最小值为$8+4=12$
$③AB=2HG$，理由如下：
如图，由折叠的性质，得$∠1=∠2$，$AB=AB'$，$BB'⊥AE$
过点$B'$作$B'M//DE$，交$AE$于点$M$
∵四边形$ABCD$为矩形，∴$AB//DE$，即$AB//B'M$
∴$∠1=∠3$，$∠1=∠AED$，即$∠1=∠2=∠3=∠AED$
∴$AB'=B'M=AB$
∴$H$是$AM$的中点，
又$∠EAB'=2∠AEB'$，∴$∠2=2∠5$，即$∠3=2∠5$
∵$∠3=∠4+∠5$，∴$∠4=∠5$
∴$B'M=EM$，∴$EM=B'M=AB'=AB$
∵$G $是$AE$的中点，$H$是$AM$的中点，∴$AG=\frac {1}{2}\ \mathrm {AE}$，$AH=\frac {1}{2}\ \mathrm {AM}$
∴$HG=AG-AH=\frac {1}{2}(AE-AM)=\frac {1}{2}\ \mathrm {EM}$
∴$HG=\frac {1}{2}AB$，即$AB=2HG$
