证明：连接$MC$，$BN$
∵$△ABM$和$△CAN$都是等$ $边三角形
∴$AM=AB$，$AC=AN$，$∠BAM=∠CAN = 60°$
∴$∠BAM + ∠BAC =∠CAN+∠BAC$，即$∠MAC=∠BAN$
∴$△MAC≌△BAN(\mathrm {SAS})$，∴$MC=BN$
∵$D$，$E$，$F $分别是$MB$，$BC$，$CN$的中点，
∴$DE$是$△BMC$的中位线，$EF $是$△BCN $的中位线，即$DE=\frac {1}{2}MC$，$EF=\frac {1}{2}BN$
∴$DE=EF$
