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$(1)$证明：∵四边形$ABCD $是菱形，∴$OB= OD$，即$O$是$BD$的中点

∵$E$是$AD$的中点

∴$OE$是$△ABD $的中位线，即$OE//AB$

∵$EF⊥AB$，$OG//EF$，∴四边形$OEFG $是矩形

$(2)$解：∵四边形$ABCD $是菱形，$AD=10$

∴$AB=AD=10$，$AC⊥BD$，即$∠AOD=90°$

∵$E $是$AD $的中点，∴$AE=OE=\frac {1}{2}AD=5$

∵$ EF⊥AB$，∴$∠AFE=90°$

在$Rt△AEF $中，$EF=4$，由勾股定理，得$AF=\sqrt {AE²-EF²}=3$

由$(1)$得四边形$OEFG $是矩形，∴$FG=OE=5$

∴$BG=AB-AF-FG=2$

$(1)$证明：连接$AO$并延长交$BC$于$H$

∵$AB=AC$，$OB=OC$

∴$AH$是$BC$的中垂线，即$AH⊥BC$于$H$

∵$D$、$E$、$F$、$G $分别是$AB$、$OB$、$OC$、$AC$的中点

∴$DG//EF//BC$，$DE//AH//GF$

∴四边形$DEFG $是平行四边形

∵$EF//BC$，$AH⊥BC$

∴$AH⊥EF$

∵$DE//AH$

∴$EF⊥DE$

∴平行四边形$DEFG $是矩形

$(2)$解：∵$△BOC$是等腰直角三角形

∴$BC=2EF=2OH=2×3=6$，$AH=OA+OH=2DE+EF=2×2+3=7$

∴$S_{△ABC}=\frac {1}{2}×6×7=21$

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