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$解：作AD⊥BC于点D$

$则∠BAD=30°，∠DAC=45°$

$设BD=x，则在Rt△ABD中，AD=\sqrt 3x，AB=2x$

$在Rt△ADC中，DC=\sqrt 3x，AC=\sqrt 6x$

$∴2x+\sqrt 6x=2+\sqrt 6$

$解得x=1$

$∴AB=2，BC=1+\sqrt 3，AC=\sqrt 6$

解：如图所示

$∠C=90°，∠CAD=60°，∠CAB=75°，AC=1$

$则∠B=∠DAB=15°，BD=AD=2，CD=\sqrt 3，BC=\sqrt 3+2$

$∴tan 75°=tan∠CAB=\frac {BC}{AC}=\sqrt 3+2$

$解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F$

$∵AB⊥BC，点B在\odot O上$

$∴CB是\odot O的切线，B为切点$

$∵AD//BC，点A也在\odot O上$

$∴AD也是\odot O的切线，A为切点$

$∵CD也是\odot O的切线，且点E为切点$

$∴AD=DE=a，CE=BC=b$

$∴CD=a+b$

$∵DF⊥BC$

$∴CF=b-a，DF=AB=2$

$在Rt△DFC中，CD^2=DF^2+FC^2$

$(a+b)^2=(b-a)^2+2^2$

$∴ab=1$

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