$解：(1)记\begin{cases}{2x+1＜x+6①，}\\ {\frac{1-2x}{2}-\frac{1-5x}{6}\leqslant\frac{2}{3}②}\end{cases}$
$解不等式①，得x＜5$
$解不等式②，得x\geqslant -2$
$∴不等式组的解集为-2\leqslant x＜5$
$将不等式组的解集在数轴上表示如图所示，此时不等式组的非正整数解为x=-2，-1，0$
$(2)记\begin{cases}{2x+a＞0①}\\ {\frac{1}{2}x＞-\frac{a}{4}+1②}\end{cases}$
$解不等式①，得x＞-\frac{a}{2}$
$解不等式②，得x＞-\frac{a}{2}+2$
$∴原不等式组的解集为x＞-\frac{a}{2}+2$
$∵不等式x-5＞0的解集是x＞5$
$∴-\frac{1}{2}a+2\geqslant 5，解得a\leqslant -6$
$∴a的取值范围是a\leqslant -6$
