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解：$ $因为$(x - 2y)^2=(x + 2y)^2-8xy，$

又$x + 2y = 2，$$xy=-1，$

所以原式$=2^2-8×(-1)=4 + 8 = 12。$

解：

$ \begin {aligned}&x^4+16y^4\\=&(x^2 + 4y^2)^2-8(\mathrm {xy})^2\\=&[(x + 2y)^2-4xy]^2-8(\mathrm {xy})^2\end {aligned}$

$ $因为$x + 2y = 2，$$xy=-1，$

所以原式$=[2^2-4×(-1)]^2-8×(-1)^2$

$=8^2-8 = 56$

解：因为$m + n = 8，$$mn = 15，$

所以$(m - n)^2=(m + n)^2-4mn=64 - 60 = 4，$

则$m - n = 2，$

所以$(m + n)(m - n)=\mathrm {m^2} - n^2 = 16，$

所以$S_{1}-S_{2}=\mathrm {m^2}-S_{空白}-(n^2-S_{空白})$

$=\mathrm {m^2} - n^2 = 16$