第39页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

$1\leqslant t\lt5$

6

$-1$

4

解:

 易知抛物线经过点$(h+\frac{1}{2}k,\frac{1}{2}k)，$

 所以$\frac{1}{2}k=a(h+\frac{1}{2}k - h)^2 + k，$

 即$\frac{1}{2}k=a(\frac{1}{2}k)^2 + k，$

 $\frac{1}{2}k=\frac{1}{4}ak^2 + k，$

 移项得：$\frac{1}{4}ak^2 + k-\frac{1}{2}k = 0，$

 $\frac{1}{4}ak^2+\frac{1}{2}k = 0，$

 两边同时乘以$4$得：$ak^2 + 2k = 0，$

 提取公因式$k$得：$k(ak + 2)=0。$

 因为$k\gt0，$所以$ak + 2 = 0，$则$ak = -2。$

 所以$a，$$k$之间的数量关系为$ak = -2。$

解:

 （1）由题意，得$(1 - 2)^2 + m = 0，$解得$m = -1。$

 所以二次函数的解析式为$y=(x - 2)^2 - 1。$

 该二次函数图象的对称轴为直线$x = 2。$

 当$x = 0$时，$y=(0 - 2)^2 - 1 = 3，$所以点$C$的坐标为$(0,3)。$

 因为点$B$与点$C$关于直线$x = 2$对称，所以点$B$的坐标为$(4,3)。$

 将$A(1,0)，$$B(4,3)$代入$y = kx + b(k\neq0)，$得$\begin{cases}k + b = 0\\4k + b = 3\end{cases}，$

 用$4k + b = 3$减去$k + b = 0$得：$3k = 3，$解得$k = 1，$

 把$k = 1$代入$k + b = 0$得：$1 + b = 0，$解得$b = -1。$

 所以一次函数的解析式为$y = x - 1。$

 （2）存在。易知点$P$在直线$AB$上方。如图，过点$C$作$CP// AB$交抛物线于点$P，$连接$AP，$$BP，$此时$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ABC}。$

 因为直线$AB$对应的函数解析式为$y = x - 1，$$CP// AB，$所以设直线$CP$对应的函数解析式为$y = x + b'。$

 把$C(0,3)$代入，得$b' = 3，$所以$y = x + 3。$

 联立方程组$\begin{cases}y = x + 3\\y=(x - 2)^2 - 1\end{cases}，$

 将$y = x + 3$代入$y=(x - 2)^2 - 1$得：$x + 3=(x - 2)^2 - 1，$

 展开式子：$x + 3 = x^2 - 4x + 4 - 1，$

 整理得：$x^2 - 5x = 0，$

 因式分解得：$x(x - 5)=0，$

 解得$\begin{cases}x_1 = 0\\y_1 = 3\end{cases}，$$\begin{cases}x_2 = 5\\y_2 = 8\end{cases}。$

 所以点$P$的坐标为$(5,8)。$