解:
（1）把$P(-2,3)$代入$y = x^{2}+ax + 3，$得$3 = 4 - 2a + 3，$
移项可得$2a=4 + 3 - 3，$
即$2a = 4，$解得$a = 2。$
$\therefore y = x^{2}+2x + 3=(x + 1)^{2}+2。$
$\therefore$图象的顶点坐标为$(-1,2)。$
（2）①把$x = 2$代入$y = x^{2}+2x + 3，$得$y=2^{2}+2\times2 + 3=4 + 4 + 3 = 11。$
$\therefore$当$m = 2$时，$n = 11。$
$ ②2\leqslant n\lt11。$
