第43页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

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$y=2x^{2}+4x + 1$

解:

 （1）$\because$点$A$的坐标为$(-1,0)，$点$B$的坐标为$(4,0)，$$\therefore OA = 1，$$OB = 4.$$\therefore AB=OA + OB=1 + 4 = 5.$$\because OC = AB，$$\therefore OC = 5，$即点$C$的坐标为$(0,5)$

 （2）设这个二次函数的解析式为$y=a(x - 4)(x + 1)(a\neq0).$$\because$点$C(0,5)$在该二次函数的图象上，$\therefore a(0 - 4)\times(0 + 1)=5，$解得$a=-\frac{5}{4}.$$\therefore y=-\frac{5}{4}(x - 4)(x + 1)=-\frac{5}{4}x^{2}+\frac{15}{4}x + 5$

解:

 （1）当$b = 3$时，$c=-2 - b=-5.$$\therefore y=x^{2}+2x - 5=(x + 1)^{2}-6.$$\therefore$这条抛物线的顶点坐标是$(-1,-6)$

 （2）由$P(-1,-2b)，$点$A$在$y$轴上，$PA\perp y$轴，可得$PA = 1.$ 又$\because BP = 2PA，$$\therefore BP = 2.$$\because$点$B$在点$P$的左侧，$\therefore$点$B$的横坐标为$-3.$ 由抛物线的对称性，可知其对称轴为直线$x=-2.$$\therefore-\frac{b - 1}{2}=-2，$解得$b = 5.$ 又$\because b + c=-2，$$\therefore c=-7.$$\therefore$这条抛物线对应的函数解析式为$y=x^{2}+4x - 7$

解:

 （1）$\because$二次函数$y=-x^{2}+mx + n$的图象经过点$A(-1,4)，$$B(1,0)，$$\therefore\begin{cases}-1 - m + n = 4,\\-1 + m + n = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-2,\\n = 3.\end{cases}$$\therefore$二次函数的解析式为$y=-x^{2}-2x + 3$

 （2）$\because$直线$y=-\frac{1}{2}x + b$经过点$B(1,0)，$$\therefore-\frac{1}{2}\times1 + b = 0，$解得$b=\frac{1}{2}.$$\therefore y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.$ 联立方程组，得$\begin{cases}y=-x^{2}-2x + 3,\\y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}x_{1}=1,\\y_{1}=0,\end{cases}\begin{cases}x_{2}=-\frac{5}{2},\\y_{2}=\frac{7}{4}.\end{cases}$$\therefore$点$D$的坐标为$(-\frac{5}{2},\frac{7}{4}).$ 设点$M$的坐标为$(a,-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2})，$则点$N$的坐标为$(a,-a^{2}-2a + 3)，$且$-\frac{5}{2}\lt a\lt1.$$\therefore MN=-a^{2}-2a + 3-(-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2})=-a^{2}-\frac{3}{2}a+\frac{5}{2}=-(a+\frac{3}{4})^{2}+\frac{49}{16}.$$\therefore$当$a=-\frac{3}{4}$时，线段$MN$的长取得最大值，为$\frac{49}{16}$